quadprog

语法

quadprog(H, f, [A], [b], [Aeq], [beq])

参数

H 是二次规划中的二次项矩阵，且必须是对称正定矩阵。

f 是二次项规划中的一次项向量。

A 是线性不等约束的系数矩阵。

b 是线性不等约束的右端向量。

Aeq 是线性等式约束的系数矩阵。

beq 是线性等式约束的右端向量。

H, A 和 Aeq 必须是列数相同的矩阵。

f, b 和 beq 是向量。

详情

求二元目标函数在线性约束条件下的最优解。具体模型如下：

\(\substack{\displaystyle{\min}\limits_x} \displaystyle{\frac{1}{2}}x^THx + f^T x\text{ such that}\begin{cases}A\cdot x\le b\\Aeq \cdot x=beq\end{cases}\)

返回结果是具有两个元素的元组。第一个元素是目标函数的最小值，第二个元素是目标函数取最小值时，x的取值。

例子

求以下目标函数的最小值。

\(x_1^2 + 3x_2^2 - 2x_1x_2 - 5x_1 + 4x_2\)

例1：没有约束条件

$ H=matrix([2 -2,-2 6])
$ f=[-5,4]
$ x=quadprog(H,f);

$ x[0];
-6.375

$ x[1];
[2.75,0.25]

例2：添加不等式约束条件：

\(x_1 + x_2\le 10\)

\(-x_1 + 3x_2\le 8\)

\(6x_1 + x_2\le 5\)

$ H=matrix([2 -2,-2 6])
$ f=[-5,4]
$ A=matrix([1 -1 6, 1 3 1])
$ b=[10, 8, 5]
$ x=quadprog(H,f,A,b);

$ x[0];
-4.092975

$ x[1];
[0.904959, -0.429752]

例3：添加不等式约束条件和等式约束条件：

\(x_1 + x_2\le 10\)

\(-x_1 + 3x_2\le 8\)

\(6x_1 + x_2\le 5\)

\(x_1 + 2x_2=1\)

$ H=matrix([2 -2,-2 6])
$ f=[-5,4]
$ A=matrix([1 -1 6, 1 3 1])
$ b=[10, 8, 5]
$ Aeq=matrix([1],[2])
$ beq=[1]
$ x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq);

$ x[0];
-3.181818

$ x[1];
[0.818182,0.090909]

目标函数在没有约束条件的情况下，最优解的值最小。约束条件越多，最优解的值越大。